Упр.21.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=3sin|2x-1|; 2) y=1/2cos(2|x|+?/3).

1) Рассмотрим функцию $$y=3\sin|2x-1|.$$

Так как в аргументе синуса стоит модуль, то

$$ |2x-1|=\begin{cases} 2x-1, & x\ge \frac12,\\ 1-2x, & x<\frac12. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ y=\begin{cases} 3\sin(2x-1), & x\ge \frac12,\\ 3\sin(1-2x), & x<\frac12. \end{cases} $$

График при $x\ge \frac12$ совпадает с графиком функции $$y=3\sin(2x-1),$$ а при $x<\frac12$ — с его отражением относительно оси $Oy$.

Удобно отметить несколько точек:

$$ x=\frac12 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=3\sin 1,\qquad x=0 \Rightarrow y=3\sin 1. $$

Поскольку $$\sin|2x-1|\ge -1,$$ то область значений функции:

$$ -3\le y\le 3. $$

2) Рассмотрим функцию $$y=\frac12\cos\left(2|x|+\frac{\pi}{3}\right).$$

Из-за модуля имеем

$$ |x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases} $$

Тогда

$$ y=\begin{cases} \frac12\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right), & x\ge 0,\\[4pt] \frac12\cos\left(-2x+\frac{\pi}{3}\right), & x<0. \end{cases} $$

График чётный, поэтому достаточно построить его при $$x\ge 0$$ и отразить относительно оси $Oy$.

Ключевые точки:

$$ x=0 \Rightarrow y=\frac12\cos\frac{\pi}{3}=\frac14, $$

$$ 2|x|+\frac{\pi}{3}=0 \text{ не бывает, а } \cos t \in [-1,1], $$

поэтому

$$ -\frac12\le y\le \frac12. $$

Для построения удобно взять точки, где аргумент косинуса равен $$\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}.$$ Тогда на правой половине графика получаем стандартную косинусоиду с амплитудой $$\frac12$$, сжатую по оси $x$ в 2 раза и сдвинутую, а левая часть строится симметрично.

Ответ

1) $$y=3\sin|2x-1|$$ — график функции $$y=3\sin(2x-1)$$ при $$x\ge \frac12$$ и его отражение относительно оси $Oy$ при $$x<\frac12$$; $$-3\le y\le 3$$.
2) $$y=\frac12\cos\left(2|x|+\frac{\pi}{3}\right)$$ — чётная функция, график строится по правой половине и отражается относительно оси $Oy$; $$-\frac12\le y\le \frac12$$.