Упр.21.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=2cos|3x+2|; 2) y=-2sin(1/2|x|-1).

1) Рассмотрим функцию $$y=2\cos|3x+2|.$$

Так как косинус — чётная функция, то

$$\cos|3x+2|=\cos(3x+2).$$

Следовательно,

$$y=2\cos(3x+2).$$

Это график функции $$y=2\cos x$$, сжатый по оси $$x$$ в 3 раза и сдвинутый влево на $$\frac{2}{3}$$.

Основные характеристики:

• амплитуда: $$2$$;
• период: $$T=\frac{2\pi}{3}$$;
• область значений: $$-2\le y\le 2$$.

Для построения достаточно отметить несколько точек:

$$ 3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}, \quad y=2; $$
$$ 3x+2=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi-4}{6}, \quad y=0; $$
$$ 3x+2=\pi \Rightarrow x=\frac{\pi-2}{3}, \quad y=-2. $$

Далее график повторяется с периодом $$\frac{2\pi}{3}$$.

2) Рассмотрим функцию $$y=-2\sin\left(\frac12|x|-1\right).$$

Так как в выражении стоит модуль, график удобно строить по частям:

$$ y= \begin{cases} -2\sin\left(\frac{x}{2}-1\right), & x\ge 0,\\[4pt] -2\sin\left(-\frac{x}{2}-1\right), & x<0. \end{cases} $$

Из-за модуля функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси $$Oy$$.

Основные характеристики:

• амплитуда: $$2$$;
• область значений: $$-2\le y\le 2$$;
• график симметричен относительно оси $$Oy$$.

Найдём опорные точки для правой ветви:

$$ x=0 \Rightarrow y=-2\sin(-1)=2\sin 1; $$
$$ \frac{x}{2}-1=0 \Rightarrow x=2,\quad y=0; $$
$$ \frac{x}{2}-1=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x=\pi+2,\quad y=-2. $$

Левая часть графика получается зеркальным отражением правой относительно оси $$Oy$$.

Ответ

1) $$y=2\cos(3x+2)$$, график — косинусоида с амплитудой $$2$$, периодом $$\frac{2\pi}{3}$$, сдвинутая влево на $$\frac{2}{3}$$.
2) $$y=-2\sin\left(\frac12|x|-1\right)$$, график чётный, симметричен относительно оси $$Oy$$, $$-2\le y\le 2$$.