Упр.21.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 21.10. Постройте график функции y=-3sin(x/2-?/6)+2.

Рассмотрим функцию

$$y=-3\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+2.$$

Преобразуем аргумент:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно:

• растянуть вдоль оси $$Ox$$ в 2 раза;
• сдвинуть вправо на $$\frac{\pi}{3}$$;
• отразить относительно оси $$Ox$$ и растянуть по вертикали в 3 раза;
• сдвинуть вверх на 2.

Амплитуда равна $$3$$, период равен

$$T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi.$$

Средняя линия графика: $$y=2$$.

Так как $$\sin t\in[-1;1]$$, то

$$-3\sin t\in[-3;3],$$

следовательно,

$$y\in[-1;5].$$

Для построения удобно взять несколько точек одного периода. Пусть

$$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}.$$

Тогда при $$t=0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi$$ получаем:

По этим точкам строим синусоиду с периодом $$4\pi$$, отражённую относительно оси $$Ox$$, растянутую в 3 раза и сдвинутую вверх на 2.

Ответ

График — синусоида с амплитудой $$3$$, периодом $$4\pi$$, средней линией $$y=2$$, область значений $$[-1;5]$$.