Упр.20.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите главный период функции $$f(x)=\sqrt{1-\frac{1}{\sin^2(x)}}$$.

$$f(x)=\sqrt{1-\frac{1}{\sin^2 x}}=\sqrt{\frac{\sin^2 x-1}{\sin^2 x}}=\sqrt{-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}}=\sqrt{-\ctg^2 x}.$$

Так как подкоренное выражение неотрицательно, то

$$-\ctg^2 x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \ctg x=0.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и на этой области определения

$$f\!\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=0.$$

Значит, функция принимает одно и то же значение при сдвиге на $$\pi$$, поэтому её главный период равен $$\pi$$.

Ответ: $$\pi$$.