Упр.20.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.9. Найдите главный период функции f(x)=v(1-1/sin^2(x)).

Преобразуем выражение под корнем:

$$ f(x)=\sqrt{1-\frac{1}{\sin^2 x}} =\sqrt{\frac{\sin^2 x-1}{\sin^2 x}} =\sqrt{\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x}} =\sqrt{-\ctg^2 x}. $$

Так как подкоренное выражение неотрицательно, то

$$ -\ctg^2 x \ge 0. $$

Но $$\ctg^2 x \ge 0$$, значит возможно только

$$ \ctg x=0. $$

Отсюда

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$

Следовательно, значения функции повторяются через $$\pi$$, значит главный период равен $$\pi$$.

Ответ

$$T=\pi$$