Упр.20.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что число $$?$$ является периодом функции $$y=v(-\sin^2(x))$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{-\sin^2 x}.$$

Так как $$\sin^2 x\ge 0,$$ то выражение под корнем неотрицательно только при $$\sin^2 x=0.$$ Следовательно, функция определена лишь при $$\sin x=0,$$ то есть при $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Для любого такого значения $$x$$ имеем

$$y(x)=\sqrt{-\sin^2 x}=0.$$

Проверим периодичность при $$T=\pi$$:

$$y(x+\pi)=\sqrt{-\sin^2(x+\pi)}=\sqrt{-\sin^2 x}=y(x).$$

Значит, число $$\pi$$ является периодом функции.

Ответ: $$\pi$$.