Упр.20.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.7. Докажите, что число ? является периодом функции y=v(-sin^2(x)).

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{-\sin^2 x}.$$

Так как для любого $$x$$ выполняется $$\sin^2 x \ge 0,$$ то

$$-\sin^2 x \le 0.$$

Чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно, чтобы

$$-\sin^2 x=0,$$

то есть

$$\sin x=0.$$

Отсюда

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно, функция определена только при $$x=\pi n$$ и в этих точках

$$y(\pi n)=\sqrt{-\sin^2(\pi n)}=\sqrt{0}=0.$$

Проверим период $$T=\pi$$:

$$y(x+T)=y(x+\pi)=0=y(x).$$

Значит, число $$\pi$$ является периодом данной функции.

Ответ

$$\pi$$