Упр.20.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.4. Докажите, что числа 2?/3 и -4? являются периодами функции f(x)=cos(3x).

Проверим, сохраняется ли значение функции при прибавлении указанных чисел к аргументу.

Для $$f(x)=\cos 3x$$ имеем:

$$f(x+T)=\cos(3(x+T))=\cos(3x+3T).$$

Если $$3T$$ — это целое число периодов функции косинуса, то $$f(x+T)=f(x)$$.

Пусть $$T_1=\frac{2\pi}{3}$$. Тогда

$$f\left(x+T_1\right)=\cos\left(3x+3\cdot\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x+2\pi)=\cos 3x=f(x).$$

Пусть $$T_2=-4\pi$$. Тогда

$$f\left(x+T_2\right)=\cos\left(3x+3\cdot(-4\pi)\right)=\cos(3x-12\pi)=\cos 3x=f(x).$$

Значит, оба числа являются периодами функции.

Ответ

$$\frac{2\pi}{3}$$ и $$-4\pi$$ — периоды функции $$f(x)=\cos 3x$$.