Упр.20.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=ctg(?x), T=3; 2) f(x)=sin(5x-2), T=4?/5.

1. $$f(x)=\ctg(\pi x), \quad T=3.$$

   Проверим, что при сдвиге на $$T$$ значение функции не изменяется:

   $$ f(x-T)=\ctg(\pi(x-3))=\ctg(\pi x-3\pi)=\ctg(\pi x), $$

   так как у функции $$\ctg x$$ период равен $$\pi$$.

   Аналогично,
   $$ f(x+T)=\ctg(\pi(x+3))=\ctg(\pi x+3\pi)=\ctg(\pi x). $$

   Следовательно, число $$3$$ является периодом функции.

2. $$f(x)=\sin(5x-2), \quad T=\frac{4\pi}{5}.$$

   Проверим:

   $$ f\!\left(x-T\right)=\sin\!\left(5x-5\cdot\frac{4\pi}{5}-2\right)=\sin(5x-4\pi-2)=\sin(5x-2), $$

   так как $$\sin(\alpha-4\pi)=\sin\alpha$$.

   Аналогично,
   $$ f\!\left(x+T\right)=\sin\!\left(5x+5\cdot\frac{4\pi}{5}-2\right)=\sin(5x+4\pi-2)=\sin(5x-2). $$

   Значит, число $$\frac{4\pi}{5}$$ является периодом функции.

Ответ

1) $$T=3$$ — период функции $$f(x)=\ctg(\pi x)$$; 2) $$T=\frac{4\pi}{5}$$ — период функции $$f(x)=\sin(5x-2)$$.