Упр.20.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что число $$T$$ является периодом функции $$f$$: 1) $$f(x)=\operatorname{ctg}(\pi x)$$, $$T=3$$; 2) $$f(x)=\sin(5x-2)$$, $$T=\frac{4\pi}{5}$$.

1) Для функции $$f(x)=\ctg(\pi x)$$ проверим, что число $$T=3$$ является периодом:

$$f(x+T)=\ctg(\pi(x+3))=\ctg(\pi x+3\pi)=\ctg(\pi x),$$
так как у функции $$\ctg x$$ период равен $$\pi$$.

Аналогично,

$$f(x-T)=\ctg(\pi(x-3))=\ctg(\pi x-3\pi)=\ctg(\pi x).$$

Значит, $$T=3$$ — период функции.

2) Для функции $$f(x)=\sin(5x-2)$$ проверим, что число $$T=\frac{4\pi}{5}$$ является периодом:

$$f(x+T)=\sin\!\left(5\left(x+\frac{4\pi}{5}\right)-2\right)=\sin(5x+4\pi-2)=\sin(5x-2),$$
так как у функции $$\sin x$$ период равен $$2\pi$$, а $$4\pi$$ — это целое число периодов.

Также

$$f(x-T)=\sin\!\left(5\left(x-\frac{4\pi}{5}\right)-2\right)=\sin(5x-4\pi-2)=\sin(5x-2).$$

Следовательно, $$T=\frac{4\pi}{5}$$ — период функции.

Ответ: 1) $$3$$; 2) $$\frac{4\pi}{5}$$.