Упр.20.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.24. Функция f такова, что при всех x?R выполняется равенство f(x+1)=(f(x)-1)/(f(x)+1). Докажите, что f — периодическая функция.

Обозначим

$$f(x+1)=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}.$$

Тогда

$$f(x+2)=f((x+1)+1)=\frac{f(x+1)-1}{f(x+1)+1}.$$

Подставим сюда выражение для $$f(x+1)$$:

$$ f(x+2)=\frac{\frac{f(x)-1}{f(x)+1}-1}{\frac{f(x)-1}{f(x)+1}+1} =\frac{\frac{f(x)-1-f(x)-1}{f(x)+1}}{\frac{f(x)-1+f(x)+1}{f(x)+1}} =\frac{-2}{2f(x)}=-\frac{1}{f(x)}. $$

Теперь найдём $$f(x+4)$$:

$$ f(x+4)=f((x+2)+2)=-\frac{1}{f(x+2)}. $$

Так как $$f(x+2)=-\frac{1}{f(x)}$$, получаем

$$ f(x+4)=-\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x). $$

Следовательно, для всех $$x$$ выполняется равенство $$f(x+4)=f(x)$$, значит, функция $$f$$ периодическая с периодом $$4$$.

Ответ

$$f(x+4)=f(x)$$, поэтому функция периодическая, её период равен $$4$$.