Упр.20.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.23. Функция f такова, что f(0)=1 и при всех x?R выполняется равенство f(x+2)=f(x)/(5f(x)-1). Найдите f(100).

Используем заданное равенство дважды:

$$ f(x+2)=\frac{f(x)}{5f(x)-1} $$

Тогда

$$ f(x+4)=f((x+2)+2)=\frac{f(x+2)}{5f(x+2)-1}. $$

Подставим сюда выражение для $$f(x+2)$$:

$$ f(x+4)=\frac{\frac{f(x)}{5f(x)-1}}{5\cdot \frac{f(x)}{5f(x)-1}-1} =\frac{\frac{f(x)}{5f(x)-1}}{\frac{5f(x)}{5f(x)-1}-\frac{5f(x)-1}{5f(x)-1}} =\frac{\frac{f(x)}{5f(x)-1}}{\frac{1}{5f(x)-1}} =f(x). $$

Значит, функция периодична с периодом $$4$$:

$$ f(x+4)=f(x). $$

Так как $$100=4\cdot 25$$, то

$$ f(100)=f(0)=1. $$

Ответ

$$1$$