Упр.20.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.22. Функция f такова, что функция y=(f(x))^2+f(x) — периодическая. Обязательно ли функция f также является периодической?

Нет, не обязательно.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\begin{cases}0, & \text{если } x\ge 0,\\ -1, & \text{если } x<0.\end{cases}$$

Тогда

$$y=(f(x))^2+f(x).$$

Если $$x<0,$$ то $$f(x)=-1,$$ значит

$$y=(-1)^2+(-1)=1-1=0.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$f(x)=0,$$ значит

$$y=0^2+0=0.$$

Следовательно, $$y\equiv 0,$$ а это периодическая функция.

При этом сама функция $$f(x)$$ не является периодической: она принимает разные значения на промежутках $$x<0$$ и $$x\ge 0$$ и не повторяется с одним и тем же периодом.

Ответ

Нет.