Упр.20.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Известно, что функция $$y=(f(x))^3+f(x)$$ является периодической. Докажите, что функция $$f$$ также является периодической.

Рассмотрим функцию $$g(t)=t^3+t.$$

Тогда по условию функция $$y=g(f(x))=(f(x))^3+f(x)$$ периодическая. Значит, существует число $$T\ne 0$$ такое, что для всех $$x$$

$$g(f(x+T))=g(f(x)).$$

Обозначим

$$t_1=f(x+T), \qquad t_2=f(x).$$

Тогда

$$t_1^3+t_1=t_2^3+t_2,$$

откуда

$$t_1^3-t_2^3=t_2-t_1,$$

$$\left(t_1-t_2\right)\left(t_1^2+t_1t_2+t_2^2\right)=t_2-t_1,$$

$$\left(t_1-t_2\right)\left(t_1^2+t_1t_2+t_2^2+1\right)=0.$$

Так как

$$t_1^2+t_1t_2+t_2^2+1>0,$$

то обязательно

$$t_1-t_2=0,$$

то есть

$$f(x+T)=f(x).$$

Следовательно, функция $$f$$ периодическая с тем же периодом $$T$$.

Ответ: функция $$f$$ периодическая.