Упр.20.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.21. Известно, что функция y=(f(x))^3+f(x) является периодической. Докажите, что функция f также является периодической.

Рассмотрим функцию $$g(t)=t^3+t.$$ Тогда по условию $$g(f(x))=(f(x))^3+f(x)$$ — периодическая функция.

Пусть для некоторых значений $$t_1$$ и $$t_2$$ выполняется

$$t_1^3+t_1=t_2^3+t_2.$$

Тогда

$$t_1^3-t_2^3=t_2-t_1,$$

$$\left(t_1-t_2\right)\left(t_1^2+t_1t_2+t_2^2\right)=t_2-t_1,$$

$$\left(t_1-t_2\right)\left(t_1^2+t_1t_2+t_2^2+1\right)=0.$$

Так как

$$t_1^2+t_1t_2+t_2^2+1>0,$$

то обязательно $$t_1-t_2=0,$$ то есть $$t_1=t_2.$$

Значит, функция $$g(t)=t^3+t$$ взаимно однозначна. Поэтому из равенства

$$g(f(x+T))=g(f(x))$$

следует

$$f(x+T)=f(x).$$

Аналогично из периодичности функции $$g(f(x))$$ получаем

$$g(f(x+T))=g(f(x)),$$

где $$T$$ — период функции $$g(f(x))$$. Тогда

$$f(x+T)=f(x)$$

для всех $$x$$, то есть функция $$f$$ также периодическая.

Ответ

Функция $$f$$ периодическая.