Упр.20 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20. Решите неравенство |x/(x^2-9)|?x/(x^2-9). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 merzlyak_ugl10 povtor/20 1012

Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\le \frac{x}{x^2-9}.$$

Пусть $$t=\frac{x}{x^2-9}.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$|t|\le t.$$

Это возможно только при $$t\ge 0$$, значит

$$\frac{x}{x^2-9}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{x}{(x-3)(x+3)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-3,\;0,\;3.$$

Исследуем знаки дроби на промежутках:

• $$(-\infty,-3)$$ — дробь отрицательна;
• $$(-3,0]$$ — дробь неотрицательна;
• $$(0,3)$$ — дробь отрицательна;
• $$[3,+\infty)$$ — дробь неотрицательна.

Точки $$x=\pm 3$$ не входят в область определения, поэтому их исключаем.

Ответ

$$(-3;0]\cup(3;+\infty)$$