Упр.20 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$\left|\frac{x}{x^2-9}\right| ? \frac{x}{x^2-9}$$.

$$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\le \frac{x}{x^2-9}$$

Пусть $$t=\frac{x}{x^2-9}.$$ Тогда неравенство имеет вид $$|t|\le t,$$ а это возможно только при $$t\ge 0.$$ Значит, нужно решить неравенство

$$\frac{x}{x^2-9}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{x}{(x-3)(x+3)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-3,\;0,\;3.$$

Исследуем знаки дроби на промежутках:

• при $$x\in(-\infty,-3)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in(-3,0]$$ дробь неотрицательна;
• при $$x\in(0,3)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in[3,+\infty)$$ дробь неотрицательна.

Точки $$x=\pm 3$$ не входят в область определения, поэтому их исключаем.

Ответ: $$(-3;0]\cup(3;+\infty)$$