Упр.20.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.20. Существует ли функция, для которой каждое иррациональное число является её периодом, однако не существует рационального числа, которое было бы её периодом?

Допустим, такая функция существует. Тогда любые иррациональные числа являются её периодами. Возьмём, например,

$$T_1=\sqrt{2}, \qquad T_2=1-\sqrt{2}.$$

Оба числа иррациональны, значит, оба являются периодами функции. Тогда их сумма тоже будет периодом:

$$T=T_1+T_2=\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})=1.$$

Но число $$1$$ — рациональное, следовательно, получается рациональный период, что противоречит условию задачи.

Значит, такой функции не существует.

Ответ

Нет.