Упр.20.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.19. При каких целых значениях n число 3? является периодом функции f(x)=cos(8nx)cos(12x/n^2)?

Пусть $$T=3\pi$$ — период функции

$$f(x)=\cos(8nx)\cos\left(\frac{12x}{n^2}\right).$$

Тогда должно выполняться равенство $$f(x+T)=f(x)$$ при всех $$x$$.

Проверим это для каждого множителя:

$$\cos\bigl(8n(x+3\pi)\bigr)=\cos(8nx+24\pi n)=\cos(8nx),$$

так как $$24\pi n=2\pi\cdot 12n.$$

Для второго множителя нужно, чтобы

$$\cos\left(\frac{12(x+3\pi)}{n^2}\right)=\cos\left(\frac{12x}{n^2}\right),$$

то есть

$$\frac{36\pi}{n^2}=2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$\frac{18}{n^2}=k,$$

значит, $$n^2$$ должно делить число $$18$$.

Так как $$n$$ — целое, получаем возможные значения:

$$n^2=1 \quad \text{или} \quad n^2=9.$$

Следовательно,

$$n=\pm 1,\ \pm 3.$$

Ответ

$$-3,\,-1,\,1,\,3.$$