Упр.20.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.17. Найдите все рациональные значения параметра a, при которых функции f(x)=sin(2ax/(a^2+v12)) и g(x)=tg(2x/(1-2a+v108)) имеют общий период.

Период функции $$f(x)=\sin\frac{2ax}{a^2+\sqrt{12}}$$ равен

$$T_f=\frac{2\pi}{\frac{2a}{a^2+\sqrt{12}}}=\frac{(a^2+\sqrt{12})\pi}{a}.$$

Период функции $$g(x)=\tg\frac{2x}{1-2a+\sqrt{108}}$$ равен

$$T_g=\frac{\pi}{\frac{2}{1-2a+\sqrt{108}}}=\frac{(1-2a+\sqrt{108})\pi}{2}.$$

Чтобы функции имели общий период, отношение $$\frac{T_g}{T_f}$$ должно быть рациональным. Найдём его:

$$ \frac{T_g}{T_f} = \frac{a(1-2a+\sqrt{108})}{2(a^2+\sqrt{12})}. $$

Так как $$\sqrt{108}=6\sqrt{3},\quad \sqrt{12}=2\sqrt{3},$$ получаем

$$ \frac{T_g}{T_f} = \frac{a(1-2a+6\sqrt{3})}{2(a^2+2\sqrt{3})}. $$

Это выражение должно быть рациональным. Значит, иррациональная часть в числителе должна исчезнуть:

$$a(6\sqrt{3})-2a\cdot 2\sqrt{3}=0,$$

что приводит к условию

$$3a^3-a+2a^2=0.$$

Или

$$a(3a^2+2a-1)=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 1=16,$$

$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}.$$

Отсюда

$$a_1=-1,\qquad a_2=\frac13.$$

Также подходит $$a=0$$.

Ответ

$$-1;\ 0;\ \frac13$$