Упр.20.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

J • 3e+sin2x

Пусть

$$f(x)=\frac{\cos 2x}{3a+\sin 2x}.$$

Проверим, при каких значениях параметра $$a$$ число $$\frac{\pi}{2}$$ является периодом этой функции.

Если $$a\ne 0$$, то преобразуем функцию:

$$\frac{1}{f(x)}=\frac{3a+\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{3a}{\cos 2x}+\tg 2x.$$

Здесь слагаемое $$\frac{3a}{\cos 2x}$$ имеет период $$\pi$$, а функция $$\tg 2x$$ — период $$\frac{\pi}{2}$$. Общий период такой суммы равен $$\pi$$, а не $$\frac{\pi}{2}$$.

Если $$a=0$$, то

$$f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\ctg 2x,$$

и её период равен

$$T=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно, число $$\frac{\pi}{2}$$ является периодом функции только при $$a=0$$.

Ответ

$$a=0$$