Упр.20.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.14. При каких значениях параметра a число ? является периодом функции f(x)=sin(x)/(a-cos(x))?

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{\sin x}{a-\cos x}.$$

Если $$a\ne 0,$$ то

$$\frac{1}{f(x)}=\frac{a-\cos x}{\sin x}=a\cdot \frac{1}{\sin x}-\ctg x.$$

Функция $$\frac{1}{\sin x}$$ имеет период $$2\pi,$$ а функция $$\ctg x$$ — период $$\pi.$$ Тогда общий период выражения равен $$2\pi.$$

Если $$a=0,$$ то

$$f(x)=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tg x,$$

а функция $$\tg x$$ имеет период $$\pi.$$

Следовательно, число $$\pi$$ является периодом функции только при $$a=0.$$

Ответ

$$a=0$$