Упр.20.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=cos(x)+2sin(3x/5+?/6);
2) f(x)=cos(5x/8)+5tg(7x/11-?/4)-sin(6x-3);
3) f(x)=2sin(5?x)+(1/3){2x}-ctg(13?x/7).

1. $$f(x)=\cos x+2\sin\left(\frac{3x}{5}+\frac{\pi}{6}\right)$$

   Период функции $$\cos x$$ равен $$T_1=2\pi$$.

   Период функции $$\sin\left(\frac{3x}{5}+\frac{\pi}{6}\right)$$ равен

   $$T_2=2\pi:\frac{3}{5}=\frac{10\pi}{3}.$$

   Найдём общий период:

   $$\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi}{10\pi/3}=\frac{3}{5},$$

   значит, общий период равен

   $$T=5T_1=3T_2=10\pi.$$

2. $$f(x)=\cos\left(\frac{5x}{8}\right)+5\tg\left(\frac{7x}{11}-\frac{\pi}{4}\right)-\sin(6x-3)$$

   Периоды слагаемых:

   $$T_1=2\pi:\frac{5}{8}=\frac{16\pi}{5},\qquad T_2=\frac{\pi}{7/11}=\frac{11\pi}{7},\qquad T_3=2\pi:6=\frac{\pi}{3}.$$

   Сравним первые два периода:

   $$\frac{T_1}{T_2}=\frac{16\pi/5}{11\pi/7}=\frac{112}{55}.$$

   Тогда

   $$T_4=55T_1=112T_2=176\pi.$$

   Сравним $$T_2$$ и $$T_3$$:

   $$\frac{T_2}{T_3}=\frac{11\pi/7}{\pi/3}=\frac{33}{7},$$

   поэтому

   $$T_5=7T_2=33T_3=11\pi.$$

   Теперь

   $$\frac{T_4}{T_5}=16,$$

   следовательно, общий период функции

   $$T=16T_5=176\pi.$$

3. $$f(x)=2\sin(5\pi x)+\frac{1}{3}\{2x\}-\ctg\left(\frac{13\pi x}{7}\right)$$

   Периоды слагаемых:

   $$T_1=\frac{2\pi}{5\pi}=\frac{2}{5},\qquad T_2=\frac{1}{2},\qquad T_3=\frac{\pi}{13\pi/7}=\frac{7}{13}.$$

   Сравним $$T_2$$ и $$T_3$$:

   $$\frac{T_2}{T_3}=\frac{1/2}{7/13}=\frac{13}{14},$$

   значит,

   $$T_5=14T_2=13T_3=7.$$

   Сравним $$T_1$$ и $$T_2$$:

   $$\frac{T_1}{T_2}=\frac{2/5}{1/2}=\frac{4}{5},$$

   поэтому

   $$T_4=5T_1=4T_2=2.$$

   Тогда

   $$\frac{T_4}{T_5}=\frac{2}{7},$$

   и общий период равен

   $$T=7T_4=2T_5=14.$$

Ответ

1) $$10\pi$$; 2) $$176\pi$$; 3) $$14$$.