Упр.20.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=sin(3x/2)+tg(7x); 3) f(x)=sin(?x)-2cos(?x/3);
2) f(x)=sin(3x)+cos(3x/4)+(1/2)tg(9x/5); 4) f(x)=sin(?x)+{3x-1/2}.

1. $$f(x)=\sin \frac{3x}{2}+\tg 7x$$

   Период функции $$\sin \frac{3x}{2}$$ равен

   $$T_1=2\pi:\frac{3}{2}=\frac{4\pi}{3}.$$

   Период функции $$\tg 7x$$ равен

   $$T_2=\pi:7=\frac{\pi}{7}.$$

   Наименьший общий период суммы:

   $$T=3T_1=28T_2=4\pi.$$

2. $$f(x)=\sin 3x+\cos \frac{3x}{4}+\frac12 \tg \frac{9x}{5}$$

   Найдём периоды слагаемых:

   $$T_1=2\pi:3=\frac{2\pi}{3}, \qquad T_2=2\pi:\frac34=\frac{8\pi}{3}, \qquad T_3=\pi:\frac95=\frac{5\pi}{9}.$$

   Сравним первые два периода:

   $$\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi/3}{8\pi/3}=\frac14,$$

   значит, общий период для первых двух слагаемых равен

   $$T_4=4T_1=T_2=\frac{8\pi}{3}.$$

   Теперь сравним с $$T_3$$:

   $$\frac{T_4}{T_3}=\frac{8\pi/3}{5\pi/9}=\frac{24}{5},$$

   поэтому общий период всей функции:

   $$T=5T_4=24T_3=\frac{40\pi}{3}.$$

3. $$f(x)=\sin \pi x-2\cos \frac{\pi x}{3}$$

   Периоды слагаемых:

   $$T_1=\frac{2\pi}{\pi}=2, \qquad T_2=\frac{2\pi}{\pi/3}=6.$$

   Так как $$T_2=3T_1,$$ то период суммы равен

   $$T=6.$$

4. $$f(x)=\sin \pi x+\left\{3x-\frac12\right\}$$

   Период функции $$\sin \pi x$$ равен

   $$T_1=\frac{2\pi}{\pi}=2.$$

   Период дробной части $$\{3x-\frac12\}$$ равен

   $$T_2=\frac{1}{3}.$$

   Наименьший общий период:

   $$T=6T_2=T_1=2.$$

Ответ

1) $$4\pi$$; 2) $$\frac{40\pi}{3}$$; 3) $$6$$; 4) $$2$$.