Упр.20.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.11. Докажите, что если функция является возрастающей (убывающей), то она не является периодической.

Пусть функция $$f$$ периодическая с главным периодом $$T$$. Тогда для любого $$x$$ из области определения выполняется

$$f(x+T)=f(x).$$

Возьмём произвольное число $$x$$ такое, что точки $$x$$ и $$x+T$$ принадлежат области определения функции. Тогда значения функции в этих точках равны.

Если бы функция была возрастающей, то из $$x<x+T$$ следовало бы

$$f(x)<f(x+T),$$

но это противоречит равенству $$f(x+T)=f(x)$$.

Аналогично, если бы функция была убывающей, то из $$x<x+T$$ следовало бы

$$f(x)>f(x+T),$$

что также противоречит равенству $$f(x+T)=f(x).$$

Значит, периодическая функция не может быть ни возрастающей, ни убывающей на своей области определения.

Ответ

Периодическая функция не может быть возрастающей или убывающей, так как для неё существует $$T>0$$, что $$f(x+T)=f(x)$$, а это противоречит строгой монотонности.