Упр.20.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.10. Докажите, что функция f(x)=sin(vx)^2 не является периодической.

Область определения функции $$f(x)=\sin^2\sqrt{x}$$ такова: $$D(f)=[0;+\infty).$$

Предположим, что функция периодическая и имеет период $$T>0.$$ Возьмём точку $$x_0=0.$$ Тогда для периодической функции должно выполняться равенство $$f(x_0-T)=f(x_0).$$

Но при любом $$T>0$$ число $$x_0-T=-T<0,$$ а значит, $$-T\notin D(f).$$ Следовательно, значение $$f(x_0-T)$$ не определено.

Это противоречит определению периодической функции. Значит, функция $$f(x)=\sin^2\sqrt{x}$$ не является периодической.

Ответ

Функция $$f(x)=\sin^2\sqrt{x}$$ не является периодической.