Упр.2.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 2.15. В олимпиаде приняли участие 46 школьников. Им были предложены 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.

Обозначим через $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ множества школьников, решивших соответственно первую, вторую и третью задачи.

По условию

$$|A \cup B \cup C|=46,$$

$$|A \cap B|=11,\quad |B \cap C|=8,\quad |A \cap C|=5,\quad |A \cap B \cap C|=2.$$

Найдём сумму чисел решивших каждую задачу:

$$|A|+|B|+|C|=|A \cup B \cup C|+|A \cap B|+|B \cap C|+|A \cap C|-2|A \cap B \cap C|.$$

Тогда

$$|A|+|B|+|C|=46+11+8+5-2\cdot 2=66.$$

Следовательно,

$$|A|+|B|+|C|=66.$$

Если бы каждая из задач была решена менее чем $$23$$ участниками, то

$$|A|+|B|+|C| \le 22+22+22=66.$$

Но равенство возможно только в случае, когда

$$|A|=|B|=|C|=22,$$

а это противоречит тому, что все три задачи решили только $$2$$ участника и каждый участник решил хотя бы одну задачу. Значит, хотя бы одна из задач решена не менее чем $$23$$ участниками.

Так как $$23>\dfrac{46}{2},$$ то одну из задач решили не менее половины участников.

Ответ

Да, одну из задач решили не менее половины участников: не менее $$23$$ школьников.