Упр.2.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. В олимпиаде приняли участие 46 школьников. Им были предложены 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.

Обозначим через $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ множества участников, решивших соответственно первую, вторую и третью задачи.

По условию

$$|A\cup B\cup C|=46,$$

$$|A\cap B|=11,\quad |B\cap C|=8,\quad |A\cap C|=5,\quad |A\cap B\cap C|=2.$$

Так как каждый участник решил хотя бы одну задачу, то по формуле включений и исключений

$$|A|+|B|+|C|=|A\cup B\cup C|+|A\cap B|+|B\cap C|+|A\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$

Подставим данные:

$$|A|+|B|+|C|=46+11+8+5+2=72.$$

Если бы каждая задача была решена менее чем половиной участников, то было бы

$$|A|<23,\quad |B|<23,\quad |C|<23,$$

а значит

$$|A|+|B|+|C|<69,$$

что противоречит равенству $$|A|+|B|+|C|=72.$$

Следовательно, хотя бы для одной из задач число решивших её участников не меньше $$23,$$ то есть не менее половины всех участников.

Ответ: одну из задач решили не менее $$23$$ участников.