Упр.2.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 2.14. Множество А содержит 101 элемент. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.

Подробный ответ

Пусть $$B \subset A$$ — произвольное подмножество множества $$A$$. Рассмотрим множество

$$C=A\setminus B.$$

Так как $$n(A)=101$$, то

$$n(C)=101-n(B).$$

Число $$101$$ нечётное, значит числа $$n(B)$$ и $$n(C)$$ имеют разную чётность: если $$n(B)$$ чётно, то $$n(C)$$ нечётно, и наоборот.

При этом соответствие $$B \leftrightarrow C=A\setminus B$$ взаимно однозначно: каждому подмножеству $$B$$ соответствует единственное подмножество $$C$$, и наоборот.

Следовательно, подмножества множества $$A$$ разбиваются на пары, в каждой из которых одно подмножество имеет чётное число элементов, а другое — нечётное. Значит, количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.