Упр.2.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 2.13. Покажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.

Пусть даны две концентричные окружности с общим центром $$O$$. Обозначим радиусы этих окружностей через $$R$$ и $$r$$, где $$R>r$$.

Построим взаимно однозначное соответствие между точками окружностей так: каждой точке $$A$$ большей окружности сопоставим точку $$A’$$ меньшей окружности, лежащую на луче $$OA$$.

Такое соответствие корректно, потому что для каждого луча, исходящего из центра $$O$$, он пересекает каждую из окружностей ровно в одной точке. Значит, каждой точке большей окружности соответствует единственная точка меньшей окружности, и наоборот.

Следовательно, между множествами точек этих окружностей существует взаимно однозначное соответствие, то есть они равномощны.

Ответ

Множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.