Упр.2.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Покажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.

Пусть даны две концентричные окружности с общим центром $$O$$. Обозначим большую окружность через $$C_1$$, а меньшую — через $$C_2$$.

Построим взаимно однозначное соответствие между их точками так: каждой точке $$A \in C_1$$ сопоставим точку $$B \in C_2$$, лежащую на луче $$OA$$.

Такое соответствие корректно, потому что:

• для каждой точки большой окружности существует единственная точка меньшей окружности на том же луче;
• разным точкам большой окружности соответствуют разные точки меньшей окружности;
• каждой точке меньшей окружности соответствует единственная точка большой окружности на том же луче.

Следовательно, между множествами точек любых двух концентричных окружностей можно установить взаимно однозначное соответствие, значит, эти множества равномощны.

Ответ

Множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие по лучам, исходящим из общего центра.