Упр.19.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(-60°)+cos^2(-30°);
2) 2tg(-?/4)ctg(-?/6)+3sin(-?/2)+4cos(-?/6).

1) Используем чётность и значения тригонометрических функций:

$$ \sin^2(-60^\circ)+\cos^2(-30^\circ)=\sin^2 60^\circ+\cos^2 30^\circ $$

$$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin^2 60^\circ+\cos^2 30^\circ=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} $$

2) Найдём значение выражения:

$$ 2\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)\ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)+3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+4\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) $$

$$ \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\qquad \ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\ctg\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3} $$

$$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Тогда

$$ 2\cdot(-1)\cdot(-\sqrt{3})+3\cdot(-1)+4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =2\sqrt{3}-3+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-3 $$

Ответ

1) $$\frac{3}{2}$$; 2) $$4\sqrt{3}-3$$.