Упр.19 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-3)v(14+5x-x^2)?0;
2) (x-3)v(14+5x-x^2) < 0.

1) Рассмотрим неравенство $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0.$$

Область определения задаётся условием

$$14+5x-x^2\ge 0.$$

Решим его:

$$x^2-5x-14\le 0,$$

$$D=25+56=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 9}{2},\quad x_1=-2,\ x_2=7.$$

Тогда

$$-2\le x\le 7.$$

Так как $$\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0,$$ то произведение $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$ выполняется, когда:

• $$x-3\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3,$$ при этом $$-2\le x\le 7;$$
• или $$\sqrt{14+5x-x^2}=0,$$ то есть $$14+5x-x^2=0.$$

Из $$x^2-5x-14=0$$ получаем корни $$x=-2$$ и $$x=7.$$

Итак,

$$x\in \{-2\}\cup [3;7].$$

2) Теперь решим неравенство $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}<0.$$

Снова учитываем область определения:

$$14+5x-x^2\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -2\le x\le 7.$$

Чтобы произведение было отрицательным, нужно, чтобы

$$x-3<0,$$

а подкоренное выражение было положительным:

$$14+5x-x^2>0.$$

Из первого условия имеем $$x<3,$$ а из второго:

$$-2<x<7.$$

Пересечение этих условий:

$$-2<x<3.$$

Ответ

1) $$\{-2\}\cup [3;7]$$

2) $$(-2;3)$$