Упр.19.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=(sin(x)+tg(x))/(sin(x)-tg(x));
2) f(x)=cos(x)/(x^2-1);
3) f(x)=tg^2(x)/(x^3-1).

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{\sin x+\tg x}{\sin x-\tg x}$$
Найдём область определения: знаменатель не должен обращаться в нуль, а также должна существовать функция $$\tg x$$.
$$\cos x\ne 0,\qquad \sin x-\tg x\ne 0$$
Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$, то
$$\sin x-\tg x=\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x(\cos x-1)}{\cos x}\ne 0.$$
Следовательно, $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$ и $$x\ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\sin(-x)+\tg(-x)}{\sin(-x)-\tg(-x)}=\frac{-\sin x-\tg x}{-\sin x+\tg x}=\frac{\sin x+\tg x}{\sin x-\tg x}=f(x).$$
Значит, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\cos x}{x^2-1}$$
Область определения:
$$x^2-1\ne 0,\qquad x\ne -1,\; x\ne 1.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\cos(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\cos x}{x^2-1}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\tg^2 x}{x^3-1}$$
Область определения:
$$x^3-1\ne 0,\qquad x\ne 1.$$
Кроме того, должна существовать $$\tg x$$, значит
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$D(f)=\mathbb R\setminus\left(\left\{1\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}\right).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\tg^2(-x)}{(-x)^3-1}=\frac{\tg^2 x}{-x^3-1}=-\frac{\tg^2 x}{x^3+1}.$$
Это не равно ни $$f(x)$$, ни $$-f(x)$$, значит функция не является ни чётной, ни нечётной.