Упр.19.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=tg(x)/x;
2) f(x)=x sin(x)/(1-cos(x));
3) f(x)=(x-1)cos(x)/(x-1).

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{\tg x}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Найдём значение функции при $$-x$$:
$$f(-x)=\frac{\tg(-x)}{-x}=\frac{-\tg x}{-x}=\frac{\tg x}{x}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{x\sin x}{1-\cos x}$$
Область определения: $$1-\cos x\ne 0,\quad \cos x\ne 1,\quad x\ne 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)\sin(-x)}{1-\cos(-x)}=\frac{(-x)(-\sin x)}{1-\cos x}=\frac{x\sin x}{1-\cos x}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{(x-1)\cos x}{x-1}$$
Область определения: $$x-1\ne 0,\quad x\ne 1.$$
На области определения функция упрощается:
$$f(x)=\cos x,\quad x\ne 1.$$
Но область определения несимметрична относительно нуля: если $$x=1$$ не принадлежит области определения, то и $$-1$$ принадлежит. Поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Кроме того, для чётности или нечётности область определения должна быть симметрична относительно нуля.