Упр.18.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ возможно равенство:

1. $$\sin(x)=a^2+1$$;
2. $$\cos(x)=a^2-1$$;
3. $$\cos(x)=a^2-5a+5$$?

1) Для существования равенства $$\sin x=a^2+1$$ нужно, чтобы правая часть принадлежала промежутку значений синуса:

$$-1\le a^2+1\le 1.$$

Из неравенства $$a^2+1\le 1$$ получаем

$$a^2\le 0,$$

значит, $$a=0.$$

Ответ: $$\{0\}.$$

2) Для равенства $$\cos x=a^2-1$$ необходимо, чтобы

$$-1\le a^2-1\le 1.$$

Тогда

$$0\le a^2\le 2,$$

откуда

$$-\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

Ответ: $$[-\sqrt2;\sqrt2].$$

3) Для равенства $$\cos x=a^2-5a+5$$ нужно, чтобы

$$-1\le a^2-5a+5\le 1.$$

Решим по отдельности:

$$a^2-5a+5\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; a^2-5a+6\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; (a-2)(a-3)\ge 0,$$

откуда $$a\le 2$$ или $$a\ge 3.$$

И

$$a^2-5a+5\le 1 \;\Longleftrightarrow\; a^2-5a+4\le 0 \;\Longleftrightarrow\; (a-1)(a-4)\le 0,$$

откуда $$1\le a\le 4.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$[1;4]\cap\bigl((-\infty;2]\cup[3;+\infty)\bigr)=[1;2]\cup[3;4].$$

Ответ: $$[1;2]\cup[3;4].$$