Упр.18.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x)=a^2+1; 2) cos(x)=a^2-1; 3) cos(x)=a^2-5a+5?

Для того чтобы равенство с синусом или косинусом было возможно, правая часть должна принадлежать промежутку значений соответствующей тригонометрической функции.

1. $$\sin x=a^2+1.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-1\le a^2+1\le 1.$$

   Вычтем 1:

   $$-2\le a^2\le 0.$$

   Поскольку $$a^2\ge 0,$$ получаем

   $$a^2=0,\quad a=0.$$

2. $$\cos x=a^2-1.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-1\le a^2-1\le 1.$$

   Прибавим 1:

   $$0\le a^2\le 2.$$

   Следовательно,

   $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

3. $$\cos x=a^2-5a+5.$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le a^2-5a+5\le 1.$$

   Решим по частям.

   1) $$a^2-5a+5\ge -1,$$ то есть

   $$a^2-5a+6\ge 0,$$

   $$ (a-2)(a-3)\ge 0,$$

   откуда $$a\le 2$$ или $$a\ge 3.$$

   2) $$a^2-5a+5\le 1,$$ то есть

   $$a^2-5a+4\le 0,$$

   $$ (a-1)(a-4)\le 0,$$

   откуда $$1\le a\le 4.$$

   Пересекаем полученные промежутки:

   $$[1;4]\cap\big((-\infty;2]\cup[3;+\infty)\big)=[1;2]\cup[3;4].$$

Ответ

1) $$a=0$$; 2) $$a\in[-\sqrt2;\sqrt2]$$; 3) $$a\in[1;2]\cup[3;4]$$.