Упр.18 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\frac{x-2}{x+3}\mathord{?}\frac{3x-4}{x+3}$$;
   2) $$\frac{x-1}{x}-\frac{x+1}{x-1}<2$$.

1) $$\frac{x-2}{x+3}\ge \frac{3x-4}{x+3}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{x-2-(3x-4)}{x+3}\ge 0$$

$$\frac{-2x+2}{x+3}\ge 0$$

$$\frac{x-1}{x+3}\le 0$$

Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=1$$.

Знак дроби не положителен на промежутке $$(-3;1]$$.

Ответ: $$(-3;1]$$

2) $$\frac{x-1}{x}-\frac{x+1}{x-1}<2$$

Перенесём $$2$$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-1}{x}-\frac{x+1}{x-1}-2<0$$

$$\frac{(x-1)^2-x(x+1)-2x(x-1)}{x(x-1)}<0$$

$$\frac{x^2-2x+1-x^2-x-2x^2+2x}{x(x-1)}<0$$

$$\frac{-2x^2-x+1}{x(x-1)}<0$$

$$\frac{2x^2+x-1}{x(x-1)}>0$$

Разложим числитель на множители:

$$2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$$

Тогда

$$\frac{(2x-1)(x+1)}{x(x-1)}>0$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;\frac12,\;1$$.

Исследование знаков даёт:

$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(0;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$

Ответ: $$(-\infty;-1)\cup\left(0;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$