Упр.18.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=2/(3-cos(x)); 2) y=1/(sin(x)+1); 3) y=1/(1-2cos(x)).

1. $$y=\frac{2}{3-\cos x}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$2\le 3-\cos x\le 4.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2}{4}\le y\le \frac{2}{2},$$

   то есть

   $$\frac12\le y\le 1.$$

2. $$y=\frac{1}{\sin x+1}$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$0\le \sin x+1\le 2.$$

   При этом $$\sin x+1\ne 0,$$ значит

   $$0<\sin x+1\le 2.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{\sin x+1}\ge \frac12.$$

   При $$\sin x=-1$$ значение не определено, а при $$\sin x=1$$ получаем $$y=\frac12.$$ При $$\sin x+1\to 0+$$ имеем $$y\to +\infty.$$

3. $$y=\frac{1}{1-2\cos x}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\cos x\le 2,$$

   откуда

   $$-1\le 1-2\cos x\le 3.$$

   При этом $$1-2\cos x\ne 0.$$

   Если $$1-2\cos x>0,$$ то $$1-2\cos x\in (0;3],$$ и тогда

   $$y\in \left[\frac13;+\infty\right).$$

   Если $$1-2\cos x<0,$$ то $$1-2\cos x\in [-1;0),$$ и тогда

   $$y\in (-\infty;-1].$$

Ответ

1) $$E(y)=\left[\frac12;1\right].$$

2) $$E(y)=\left[\frac12;+\infty\right).$$

3) $$E(y)=(-\infty;-1]\cup \left[\frac13;+\infty\right).$$