Упр.18.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/(2+sin(x)); 2) 1/(1-cos(x)); 3) 2/(4sin(x)-3).

1. $$y=\frac{1}{2+\sin x}$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$1\le 2+\sin x\le 3.$$

   Все значения знаменателя положительны, значит при переходе к обратным величинам получаем

   $$\frac13\le \frac{1}{2+\sin x}\le 1.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[\frac13;1\right].$$

2. $$y=\frac{1}{1-\cos x}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$0\le 1-\cos x\le 2.$$

   При этом $$1-\cos x\ne 0,$$ значит

   $$0<1-\cos x\le 2.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{1-\cos x}\ge \frac12.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[\frac12;+\infty\right).$$

3. $$y=\frac{2}{4\sin x-3}$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-4\le 4\sin x\le 4,$$

   откуда

   $$-7\le 4\sin x-3\le 1.$$

   При этом $$4\sin x-3\ne 0,$$ значит

   $$4\sin x-3\in [-7;0)\cup(0;1].$$

   Тогда

   $$\frac{2}{4\sin x-3}\in (-\infty;-\frac27]\cup[2;+\infty).$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;-\frac27]\cup[2;+\infty).$$

Ответ

1) $$\left[\frac13;1\right]$$; 2) $$\left[\frac12;+\infty\right)$$; 3) $$(-\infty;-\frac27]\cup[2;+\infty).$$