Упр.18.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/(cos(?)-2); 2) sin(?)cos(?)/sin(?); 3) sin(?)+cos(?)-sin(?)cos(?)/cos(?).

1) Рассмотрим выражение

$$y=\frac{1}{\cos \alpha-2}.$$

Так как $$-1\le \cos \alpha \le 1,$$ то

$$-3\le \cos \alpha-2\le -1.$$

Функция $$y=\frac{1}{x}$$ на промежутке $$[-3;-1]$$ убывает, поэтому

$$-1\le y\le -\frac13.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$-\frac13,$$ наименьшее — $$-1.$$

2) Рассмотрим выражение

$$y=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

При $$\sin \alpha\ne 0$$ получаем

$$y=\cos \alpha.$$

Но из-за ограничения $$\sin \alpha\ne 0$$ значения $$\cos \alpha=\pm 1$$ недостижимы, поэтому

$$-1<y<1.$$

Наибольшего и наименьшего значений нет.

3) Рассмотрим выражение

$$y=\sin \alpha+\cos \alpha-\frac{\sin \alpha\cos \alpha}{\cos \alpha}.$$

При $$\cos \alpha\ne 0$$ имеем

$$y=\sin \alpha+\cos \alpha-\sin \alpha=\cos \alpha.$$

Так как $$\cos \alpha\ne 0,$$ то

$$-1\le \cos \alpha<0 \quad \text{или} \quad 0<\cos \alpha\le 1.$$

Значит,

$$-1\le y\le 1,$$

причём $$y=0$$ не достигается, а наибольшее значение равно $$1,$$ наименьшее — $$-1.$$

Ответ

1) $$y_{\max}=-\frac13,\; y_{\min}=-1.$$
2) Наибольшего и наименьшего значений нет.
3) $$y_{\max}=1,\; y_{\min}=-1.$$