Упр.18.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/(1+sin(?)); 2) cos^3(?)/cos(?); 3) sin(?)(1+cos(?))/sin(?).

1. $$y=\frac{1}{1+\sin \alpha}$$

   Так как $$-1 \le \sin \alpha \le 1,$$ то

   $$0<1+\sin \alpha \le 2.$$

   Следовательно,

   $$\frac{1}{1+\sin \alpha}\ge \frac12.$$

   Равенство достигается при $$\sin \alpha=1.$$ Значит, наименьшее значение равно $$\frac12,$$ а наибольшего значения нет.

2. $$y=\frac{\cos^3 \alpha}{\cos \alpha}=\cos^2 \alpha,$$

   при $$\cos \alpha \ne 0.$$ Тогда

   $$0<\cos^2 \alpha \le 1.$$

   Значение $$1$$ достигается при $$\cos \alpha=\pm 1,$$ а значение $$0$$ не достигается, так как $$\cos \alpha=0$$ не входит в область определения.

   Значит, наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшего значения нет.

3. $$y=\frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}=1+\cos \alpha,$$

   при $$\sin \alpha \ne 0.$$ Тогда $$\cos \alpha \ne \pm 1,$$ то есть

   $$-1<\cos \alpha<1.$$

   Следовательно,

   $$0<1+\cos \alpha<2.$$

   Число $$0$$ не достигается, так как $$\cos \alpha=-1$$ невозможно при $$\sin \alpha \ne 0,$$ а число $$2$$ не достигается, так как $$\cos \alpha=1$$ также не входит в область определения.

   Значит, ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.

Ответ

1) наименьшее значение $$\frac12$$, наибольшего нет; 2) наибольшее значение $$1$$, наименьшего нет; 3) ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.