Упр.18.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x)=a-2; 2) cos(x)=a^2+2; 3) sin(x)=2a-a^2-2?

1) Для существования значения $$\sin x$$ необходимо, чтобы правая часть принадлежала отрезку $$[-1;1]$$:

$$-1 \le a-2 \le 1$$

$$1 \le a \le 3$$

Следовательно, $$a \in [1;3].$$

2) Для функции $$\cos x$$ также должно выполняться:

$$-1 \le a^2+2 \le 1$$

Но из неравенства $$-1 \le a^2+2$$ всегда верно, а из $$a^2+2 \le 1$$ получаем

$$a^2 \le -1,$$

что невозможно для действительных $$a$$. Значит, решений нет.

3) Для существования значения $$\sin x$$ нужно:

$$-1 \le 2a-a^2-2 \le 1$$

Решим по отдельности.

Первое неравенство:

$$2a-a^2-2 \ge -1$$

$$-a^2+2a-1 \ge 0$$

$$a^2-2a+1 \le 0$$

$$ (a-1)^2 \le 0$$

Отсюда $$a=1.$$

Проверим второе неравенство при $$a=1$$:

$$2a-a^2-2 \le 1$$

$$2\cdot 1-1^2-2=-1 \le 1,$$

условие выполняется.

Ответ

1) $$a \in [1;3]$$; 2) $$\varnothing$$; 3) $$a=1$$.