Упр.17.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $$P_0(1; 0)$$ на угол: 1) $$225^\circ$$; 3) $$\frac{2\pi}{3}$$; 5) $$6\pi$$; 2) $$-315^\circ$$; 4) $$-\frac{5\pi}{6}$$; 6) $$-720^\circ$$.

На единичной окружности точка после поворота точки $$P_0(1;0)$$ на угол $$\alpha$$ имеет координаты $$\bigl(\cos \alpha;\sin \alpha\bigr)$$.

1. $$225^\circ=180^\circ+45^\circ$$, значит

   $$\cos 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Искомая точка: $$\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

2. $$-315^\circ=-360^\circ+45^\circ,$$ поэтому

   $$\cos(-315^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin(-315^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Искомая точка: $$\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

3. $$\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6},$$ значит

   $$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12, \qquad \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Искомая точка: $$\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

4. $$-\frac{5\pi}{6}=-\pi+\frac{\pi}{6},$$ поэтому

   $$\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac12.$$

   Искомая точка: $$\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right).$$

5. $$6\pi=2\pi+2\pi+2\pi,$$ то есть это три полных оборота, поэтому точка совпадает с $$P_0.$$

   Искомая точка: $$\left(1;0\right).$$

6. $$-720^\circ=-360^\circ-360^\circ,$$ то есть два полных оборота в отрицательном направлении, поэтому точка снова совпадает с $$P_0.$$

   Искомая точка: $$\left(1;0\right).$$

Ответ: 1) $$\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right)$$; 2) $$\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$; 3) $$\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$$; 4) $$\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right)$$; 5) $$\left(1;0\right)$$; 6) $$\left(1;0\right)$$.