Упр.17.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {2ПЂn | nв€€Z}в€Є{ПЂ+2ПЂn | nв€€Z};
2) {2ПЂn | nв€€Z}в‹‚{ПЂn | nв€€Z};
3) {В±ПЂ/2+ПЂn | nв€€Z};
4) {ПЂn/12 | nв€€Z}в‹‚{ПЂ/3+ПЂn | nв€€Z}.

1. Объединим два множества:

   $$\{2\pi n \mid n \in \mathbb Z\}\cup\{\pi+2\pi n \mid n \in \mathbb Z\}=\{\pi n \mid n \in \mathbb Z\}.$$

2. Найдём общие элементы множеств:

   $$\{2\pi n \mid n \in \mathbb Z\}\cap\{\pi n \mid n \in \mathbb Z\}=\{2\pi n \mid n \in \mathbb Z\}.$$

3. Множество

   $$\left\{\pm \frac{\pi}{2}+\pi n \mid n \in \mathbb Z\right\}$$

   можно записать как

   $$\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n \in \mathbb Z\right\},$$

   так как при изменении $n$ на любое целое число получаются все значения вида

   $$\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2},\ \frac{7\pi}{2},\ldots$$

4. Рассмотрим пересечение множеств:

   $$\left\{\frac{\pi n}{12}\mid n \in \mathbb Z\right\}\cap\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n \mid n \in \mathbb Z\right\}.$$

   Ищем общие элементы. Пусть

   $$\frac{\pi n}{12}=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{n}{12}=\frac{1}{3}+k,$$

   $$n=4+12k.$$

   Значит, общие элементы имеют вид

   $$\left\{\frac{\pi(4+12k)}{12}\mid k\in\mathbb Z\right\}=\left\{\frac{\pi}{3}+\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}.$$

Ответ

1) $$\{\pi n \mid n \in \mathbb Z\}$$

2) $$\{2\pi n \mid n \in \mathbb Z\}$$

3) $$\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n \in \mathbb Z\right\}$$

4) $$\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n \mid n \in \mathbb Z\right\}$$