Упр.17.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите: 1) $$\{2\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}\cup\{\pi+2\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}$$; 2) $$\{2\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}\cap\{\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}$$; 3) $$\{\pm\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}$$; 4) $$\left\{\frac{\pi n}{12}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}\cap\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\right\}$$.

1) $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}\cup\{\pi+2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}=\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}.$$

Действительно, объединяются все чётные и нечётные кратные числа $$\pi$$.

2) $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}\cap\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}=\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}.$$

Все элементы множества $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$ входят и в множество $$\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$, поэтому пересечение совпадает с первым множеством.

3) $$\left\{\pm \frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}=\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}.$$

Так как при изменении $$n$$ на целое число получаются все числа вида $$\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2},\dots$$, знак $$\pm$$ не меняет множество.

4) $$\left\{\frac{\pi n}{12}\mid n\in \mathbb Z\right\}\cap\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n\mid n\in \mathbb Z\right\}=\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n\mid n\in \mathbb Z\right\}.$$

Поскольку

$$\frac{\pi}{3}+\pi n=\frac{4\pi}{12}+\frac{12\pi n}{12}=\frac{\pi(4+12n)}{12},$$

то все элементы второго множества имеют вид $$\frac{\pi k}{12}$$, значит второе множество является подмножеством первого. Следовательно, их пересечение равно второму множеству.

Ответ: 1) $$\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$; 2) $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$; 3) $$\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}$$; 4) $$\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}$$.