Упр.17.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {2ПЂn | nв€€Z}в€Є{ПЂn | nв€€Z};
2) {2ПЂn | nв€€Z}в‹‚{ПЂ+2ПЂn | nв€€Z};
3) {В±ПЂ/3 | nв€€Z}в€Є{ПЂn | nв€€Z};
4) {ПЂ/2+ПЂn | nв€€Z}в‹‚{3ПЂn/10 | nв€€Z}.

1. $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}\cup\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$
   Так как множество $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$ является подмножеством множества $$\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$, то
   $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}\cup\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}=\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}.$$
2. $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}\cap\{\pi+2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$
   В первом множестве все элементы кратны $$2\pi$$, а во втором имеют вид $$\pi(2n+1)$$, то есть являются нечётными кратными $$\pi$$. Общих элементов нет, значит
   $$\{2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}\cap\{\pi+2\pi n \mid n\in \mathbb Z\}=\varnothing.$$
3. $$\left\{\pm \frac{\pi}{3}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}\cup\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$
   Множество $$\left\{\pm \frac{\pi}{3}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}$$ можно записать как
   $$\left\{\frac{\pi n}{3}\mid n\in \mathbb Z\right\},$$
   поскольку оно даёт все кратные $$\frac{\pi}{3}$$. Тогда
   $$\left\{\frac{\pi n}{3}\mid n\in \mathbb Z\right\}\cup\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}=\left\{\frac{\pi n}{3}\mid n\in \mathbb Z\right\}.$$
4. $$\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}\cap\left\{\frac{3\pi n}{10}\mid n\in \mathbb Z\right\}$$
   Ищем общие элементы. Пусть
   $$\frac{\pi}{2}+\pi n=\frac{3\pi k}{10}, \quad n,k\in \mathbb Z.$$
   Делим на $$\pi$$:
   $$\frac12+n=\frac{3k}{10}.$$
   Умножим на $$10$$:
   $$5+10n=3k.$$
   Тогда
   $$k=\frac{5+10n}{3}.$$
   Чтобы $$k$$ было целым, нужно, чтобы $$5+10n$$ делилось на $$3$$. Это выполняется при
   $$n=3t+1,\quad t\in \mathbb Z.$$
   Тогда
   $$\frac{\pi}{2}+\pi n=\frac{\pi}{2}+\pi(3t+1)=\frac{3\pi}{2}+3\pi t.$$
   Значит,
   $$\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}\cap\left\{\frac{3\pi n}{10}\mid n\in \mathbb Z\right\} =\left\{\frac{3\pi}{2}+3\pi t \mid t\in \mathbb Z\right\}.$$

Ответ

1) $$\{\pi n \mid n\in \mathbb Z\}$$;
2) $$\varnothing$$;
3) $$\left\{\frac{\pi n}{3}\mid n\in \mathbb Z\right\}$$;
4) $$\left\{\frac{3\pi}{2}+3\pi n \mid n\in \mathbb Z\right\}$$.