Упр.17 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}?0$$;
   2) $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}<0$$.

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}\ge 0.$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^2+x-20=(x+5)(x-4),$$

$$x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

Тогда

$$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}\ge 0,\qquad x\ne 3.$$

Так как $$\,(x-3)^2>0\,$$ при $$x\ne 3,$$ знак дроби определяется только числителем. Получаем:

$$(x+5)(x-4)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

С учётом области допустимых значений ответ:

$$(-\infty;\,-5]\cup[4;\,+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}<0.$$

После разложения на множители получаем:

$$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}<0,\qquad x\ne 3.$$

Так как $$\,(x-3)^2>0\,$$ при $$x\ne 3,$$ нужно решить неравенство

$$(x+5)(x-4)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$-5<x<4.$$

Исключаем точку $$x=3,$$ где знаменатель обращается в нуль. Тогда

$$(-5;\,3)\cup(3;\,4).$$