Упр.17.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 17.19. Докажите, что площадь сектора, содержащего дугу в ? рад, можно вычислить по формуле S=(?R^2)/2, где R — радиус окружности.

Площадь круга радиуса $$R$$ равна $$S_{\text{кр}}=\pi R^2.$$

Полный круг соответствует углу $$2\pi$$ рад. Тогда сектор с дугой, равной $$\alpha$$ рад, составляет долю

$$k=\frac{\alpha}{2\pi}.$$

Следовательно, площадь такого сектора равна этой доле от площади круга:

$$ S_{\text{сект}}=k\cdot S_{\text{кр}}=\frac{\alpha}{2\pi}\cdot \pi R^2=\frac{\alpha R^2}{2}. $$

Тем самым доказано, что площадь сектора, содержащего дугу в $$\alpha$$ рад, вычисляется по формуле $$S=\frac{\alpha R^2}{2}.$$

Ответ

$$S=\frac{\alpha R^2}{2}.$$