Упр.17 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9)?0;
2) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9) < 0.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^2+x-20=(x+5)(x-4),$$

$$x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

Тогда

$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}=\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}, \qquad x\ne 3.$$

Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3,$$ знак дроби определяется только числителем.

1. $$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}\ge 0.$$

   Решаем неравенство:

   $$ (x+5)(x-4)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

   С учётом области определения $$x\ne 3$$ получаем:

   $$(-\infty;\,-5]\cup[4;\,+\infty).$$

2. $$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}<0.$$

   Решаем неравенство:

   $$ (x+5)(x-4)<0.$$

   Отсюда

   $$-5<x<4.$$

   Исключаем точку $$x=3,$$ где знаменатель равен нулю:

   $$(-5;\,3)\cup(3;\,4).$$

Ответ

1) $$(-\infty;\,-5]\cup[4;\,+\infty)$$

2) $$(-5;\,3)\cup(3;\,4)$$