Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}<1$$;
- $$\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10}\mathrel{?}\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9}$$;
- $$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$$;
- $$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x}>1$$.
$$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}<1.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x>2,$$ то
$$\sqrt{2x-1}<x-2.$$
Возводим в квадрат:
$$2x-1<x^2-4x+4,$$
$$x^2-6x+5>0,$$
$$(x-1)(x-5)>0.$$
При $$x>2$$ получаем $$x>5.$$
2) Если $$x<2,$$ то
$$\sqrt{2x-1}>x-2.$$
Так как $$\sqrt{2x-1}\ge 0,$$ а $$x-2<0,$$ неравенство выполняется при всех значениях из области определения.
Область определения:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Итак,
$$x\in \left[\frac12;2\right)\cup(5;+\infty).$$
$$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3.$$
Область определения:
$$1-4x^2\ge 0,\quad x\ne 0,\quad |x|\le \frac12.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x>0,$$ то
$$1-\sqrt{1-4x^2}<3x,$$
$$\sqrt{1-4x^2}>1-3x.$$
После возведения в квадрат получаем:
$$1-4x^2>1-6x+9x^2,$$
$$13x^2-6x<0,$$
$$x(13x-6)<0.$$
С учётом $$x>0$$ имеем
$$0<x<\frac{6}{13}.$$
Пересечение с ОДЗ даёт
$$0<x\le \frac12.$$
2) Если $$x<0,$$ то
$$1-\sqrt{1-4x^2}>3x.$$
Так как левая часть не превосходит $$1,$$ а правая отрицательна, неравенство выполняется для всех $$x$$ из ОДЗ при $$x<0.$$
Итак,
$$x\in \left[-\frac12;0\right)\cup\left(0;\frac12\right].$$
$$\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10}\le \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9}.$$
Перенесём в одну сторону:
$$\sqrt{8-2x-x^2}\left(\frac{1}{x+10}-\frac{1}{2x+9}\right)\le 0,$$
$$\sqrt{8-2x-x^2}\cdot \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)}\le 0.$$
Область определения:
$$8-2x-x^2\ge 0,$$
$$x^2+2x-8\le 0,$$
$$(x+4)(x-2)\le 0,$$
$$-4\le x\le 2.$$
На ОДЗ корень неотрицателен, поэтому достаточно решить
$$\frac{x-1}{(x+10)(2x+9)}\le 0.$$
На промежутке $$[-4;2]$$ знаменатель положителен, значит
$$x-1\le 0,$$
$$x\le 1.$$
Итак,
$$x\in [-4;1]\cup\{2\}.$$
$$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x}>1.$$
Перенесём единицу влево:
$$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16-(6-x)}{6-x}>0,$$
$$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-2x+10}{6-x}>0.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<6,$$ то знаменатель положителен, и нужно
$$\sqrt{x^2-3x-4}>2x-10.$$
Если $$x\le 5,$$ то правая часть не положительна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех таких $$x$$ из ОДЗ.
Если $$x>5,$$ то возводим в квадрат:
$$x^2-3x-4>4x^2-40x+100,$$
$$3x^2-37x+104<0,$$
$$(x-\frac{13}{3})(x-8)<0,$$
$$\frac{13}{3}<x<8.$$
С учётом $$x<6$$ получаем $$\frac{13}{3}<x<6.$$
2) Если $$x>6,$$ то знаменатель отрицателен, и нужно
$$\sqrt{x^2-3x-4}-2x+10<0,$$
$$\sqrt{x^2-3x-4}<2x-10.$$
Это возможно только при $$x>5.$$ Возводим в квадрат:
$$x^2-3x-4<4x^2-40x+100,$$
$$3x^2-37x+104>0,$$
$$(x-\frac{13}{3})(x-8)>0,$$
$$x<\frac{13}{3}\ \text{или}\ x>8.$$
С учётом $$x>6$$ получаем $$x>8.$$
Область определения:
$$x^2-3x-4\ge 0,$$
$$(x+1)(x-4)\ge 0,$$
$$x\le -1\ \text{или}\ x\ge 4.$$
Итак,
$$x\in (-\infty;-1]\cup[4;6)\cup(8;+\infty).$$
