Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(2x-1)/(x-2) < 1; 3) v(8-2x-x^2)/(x+10)?v(8-2x-x^2)/(2x+9); 2) (1-v(1-4x^2))/x < 3; 4) (v(x^2-3x-4)-3x+16)/(6-x) > 1.

1. $$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}<1$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x>2$$, то можно умножить на положительное число $$x-2$$:

   $$\sqrt{2x-1}<x-2$$
   $$2x-1<x^2-4x+4$$
   $$x^2-6x+5>0$$
   $$ (x-1)(x-5)>0 $$

   При $$x>2$$ получаем $$x>5$$.

   2) Если $$x<2$$, то при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:

   $$\sqrt{2x-1}>x-2$$
   $$ (x-1)(x-5)<0 $$

   С учётом области определения $$2x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac12$$, получаем:

   $$\frac12\le x<2$$

   Объединяя результаты, имеем:

   $$\left[\frac12;2\right)\cup(5;+\infty)$$

2. $$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$$

   Область определения:

   $$1-4x^2\ge 0,\quad x\ne 0$$
   $$|x|\le \frac12,\quad x\ne 0$$
   $$x\in\left[-\frac12;0\right)\cup\left(0;\frac12\right]$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x>0$$, то:

   $$1-\sqrt{1-4x^2}<3x$$
   $$\sqrt{1-4x^2}>1-3x$$
   $$1-4x^2>(1-3x)^2$$
   $$x(13x-6)<0$$

   С учётом $$x>0$$ получаем:

   $$0<x<\frac{6}{13}$$

   Пересечение с ОДЗ даёт:

   $$\left(0;\frac12\right]$$

   2) Если $$x<0$$, то:

   $$1-\sqrt{1-4x^2}>3x$$
   $$\sqrt{1-4x^2}<1-3x$$
   $$1-4x^2<(1-3x)^2$$
   $$x(13x-6)>0$$

   При $$x<0$$ это верно для всех значений из ОДЗ:

   $$\left[-\frac12;0\right)$$

   Итак,

   $$\left[-\frac12;0\right)\cup\left(0;\frac12\right]$$

3. $$\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10}\le \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9}$$

   Перенесём в одну сторону:

   $$\sqrt{8-2x-x^2}\left(\frac{1}{x+10}-\frac{1}{2x+9}\right)\le 0$$
   $$\sqrt{8-2x-x^2}\cdot \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)}\le 0$$

   Область определения:

   $$8-2x-x^2\ge 0$$
   $$x^2+2x-8\le 0$$
   $$(x+4)(x-2)\le 0$$
   $$-4\le x\le 2$$

   Также:

   $$x\ne -10,\quad x\ne -\frac92$$

   На ОДЗ множитель $$\sqrt{8-2x-x^2}\ge 0$$, поэтому знак выражения определяется дробью. Получаем:

   $$\frac{x-1}{(x+10)(2x+9)}\le 0$$

   На отрезке $$[-4;2]$$ точки разрыва $$-10$$ и $$-\frac92$$ не попадают, значит достаточно учесть знак числителя:

   $$x\le 1$$

   Итак,

   $$[-4;1]$$

4. $$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x}>1$$

   Перенесём единицу влево:

   $$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16-(6-x)}{6-x}>0$$
   $$\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-2x+10}{6-x}>0$$

   Область определения:

   $$x^2-3x-4\ge 0$$
   $$(x-4)(x+1)\ge 0$$
   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 4$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x>6$$, то $$6-x<0$$, и после умножения на отрицательное число знак меняется:

   $$\sqrt{x^2-3x-4}-2x+10<0$$
   $$\sqrt{x^2-3x-4}<2x-10$$

   Здесь нужно $$2x-10\ge 0$$, то есть $$x\ge 5$$. Возводим в квадрат:

   $$x^2-3x-4<4x^2-40x+100$$
   $$3x^2-37x+104>0$$
   $$(x-\frac{13}{3})(x-8)>0$$

   С учётом $$x>6$$ получаем:

   $$x>8$$

   2) Если $$x<6$$, то $$6-x>0$$:

   $$\sqrt{x^2-3x-4}-2x+10>0$$
   $$\sqrt{x^2-3x-4}>2x-10$$

   При $$x\le 5$$ правая часть неположительна, значит неравенство выполняется при всех значениях из ОДЗ. Тогда:

   $$(-\infty;-1]\cup[4;6)$$

   Объединяя с случаем $$x>8$$, получаем:

   $$(-\infty;-1]\cup[4;6)\cup(8;+\infty)$$

Ответ

1) $$\left[\frac12;2\right)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$\left[-\frac12;0\right)\cup\left(0;\frac12\right]$$; 3) $$[-4;1]$$; 4) $$(-\infty;-1]\cup[4;6)\cup(8;+\infty)$$.