Упр.16.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-3)v(x^2+x-2)?0;
2) (x^2-9)v(16-x^2)?0.

1) Рассмотрим неравенство $$\left(x-3\right)\sqrt{x^2+x-2}\ge 0.$$

Сначала найдём область определения:

$$x^2+x-2\ge 0,$$

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Так как $$\sqrt{x^2+x-2}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, если:

$$x-3\ge 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x^2+x-2}=0.$$

1) $$x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3.$$

2) $$\sqrt{x^2+x-2}=0 \Rightarrow x^2+x-2=0,$$

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0,$$

$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=1.$$

С учётом области определения получаем:

$$x\in\{-2,1\}\cup[3;+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство $$\left(x^2-9\right)\sqrt{16-x^2}\ge 0.$$

Область определения:

$$16-x^2\ge 0,$$

$$\left(4-x\right)\left(4+x\right)\ge 0,$$

откуда

$$-4\le x\le 4.$$

Разложим множитель:

$$x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right).$$

Так как $$\sqrt{16-x^2}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда

$$x^2-9\ge 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{16-x^2}=0.$$

1) $$x^2-9\ge 0 \Rightarrow \left(x-3\right)\left(x+3\right)\ge 0,$$

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

С учётом области определения:

$$x\in[-4;-3]\cup[3;4].$$

2) $$\sqrt{16-x^2}=0 \Rightarrow 16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4,$$

и эти точки уже входят в найденные промежутки.

Ответ

1) $$\{-2;1\}\cup[3;+\infty).$$

2) $$[-4;-3]\cup[3;4].$$