Упр.16.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x+2) > x; 3) v(x^2-5x-24)?x+2;
2) v(2x+14) > x+3; 4) v(x^2+4x-5) > x-3.

1. $$\sqrt{x+2}>x$$
   
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x+2>x^2$$
   $$x^2-x-2<0$$
   $$ (x+1)(x-2)<0 $$
   Отсюда:
   $$-1<x<2$$
   Учитываем область определения:
   $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2$$
   Пересечение:
   $$[-2;2)$$
2. $$\sqrt{2x+14}>x+3$$
   
   Возведём обе части в квадрат:
   $$2x+14>x^2+6x+9$$
   $$x^2+4x-5<0$$
   $$ (x+5)(x-1)<0 $$
   Отсюда:
   $$-5<x<1$$
   Так как правая часть должна быть неотрицательной, то:
   $$x+3>0,\quad x>-3$$
   Область определения:
   $$2x+14\ge 0,\quad x\ge -7$$
   Пересечение всех условий:
   $$[-7;1)$$
3. $$\sqrt{x^2-5x-24}\ge x+2$$
   
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^2-5x-24\ge x^2+4x+4$$
   $$-9x\ge 28$$
   $$x\le -\frac{28}{9}$$
   Так как левая часть неотрицательна, то:
   $$x+2\le 0,\quad x\le -2$$
   Область определения:
   $$x^2-5x-24\ge 0$$
   $$ (x+3)(x-8)\ge 0 $$
   $$x\le -3 \text{ или } x\ge 8$$
   Пересечение с условием $$x\le -\frac{28}{9}$$ даёт:
   $$(-\infty;-3]$$
4. $$\sqrt{x^2+4x-5}>x-3$$
   
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^2+4x-5>x^2-6x+9$$
   $$10x>14$$
   $$x>\frac{7}{5}$$
   Так как правая часть должна быть неотрицательной, то:
   $$x-3<0,\quad x<3$$
   Область определения:
   $$x^2+4x-5\ge 0$$
   $$ (x+5)(x-1)\ge 0 $$
   $$x\le -5 \text{ или } x\ge 1$$
   Пересечение всех условий:
   $$(-\infty;-5]\cup[1;3)$$

Ответ

1) $$[-2;2)$$; 2) $$[-7;1)$$; 3) $$(-\infty;-3]$$; 4) $$(-\infty;-5]\cup[1;3)$$.