Упр.16.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(x+7)?x+1; 3) v(x^2+x-2) > x;
2) v(x^2-2x)?4-x; 4) v(-x^2+6x-5) > 8-2x.

Подробный ответ

$$\sqrt{x+7}\ge x+1$$

Возведём обе части в квадрат:
$$x+7\ge (x+1)^2$$
$$x+7\ge x^2+2x+1$$
$$x^2+x-6\le 0$$
$$ (x+3)(x-2)\le 0 $$
Отсюда:
$$-3\le x\le 2.$$
Учитываем область определения:
$$x+7\ge 0,\quad x\ge -7.$$
Пересечение даёт:
$$x\in[-7;2].$$
$$\sqrt{x^2-2x}\ge 4-x$$

Если $$4-x\le 0,$$ то есть $$x\ge 4,$$ неравенство выполняется при всех значениях из области определения.

Область определения:
$$x^2-2x\ge 0$$
$$x(x-2)\ge 0$$
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Пересечение с $$x\ge 4$$ даёт:
$$x\in[4;+\infty).$$
$$\sqrt{x^2+x-2}>x$$

Если $$x<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения.
Область определения:
$$x^2+x-2\ge 0$$
$$ (x+2)(x-1)\ge 0 $$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
При $$x<0$$ остаётся только $$x\le -2.$$
Если $$x\ge 0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:
$$x^2+x-2>x^2$$
$$x>2.$$
Тогда получаем:
$$x\in(2;+\infty).$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-2]\cup(2;+\infty).$$
$$\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x$$

Если $$8-2x\le 0,$$ то есть $$x\ge 4,$$ то неравенство выполняется при всех значениях из области определения.

Область определения:
$$-x^2+6x-5\ge 0$$
$$x^2-6x+5\le 0$$
$$ (x-1)(x-5)\le 0 $$
$$1\le x\le 5.$$
Пересечение с $$x\ge 4$$ даёт:
$$x\in[4;5].$$

Если $$x<4,$$ то можно возвести обе части в квадрат: $$-x^2+6x-5>(8-2x)^2$$
$$-x^2+6x-5>64-32x+4x^2$$
$$5x^2-38x+69<0$$ $$ (x-3)(x-4{,}6)<0 $$ $$3