Упр.16.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(9x-20) < x; 3) 2v(4-x^2)?x+4; 2) v(x+61) < x+5; 4) v(x^2+4x-5) < x-3.

Подробный ответ

$$\sqrt{9x-20}
Возведём обе части в квадрат:
$$9x-20<x^2$$
$$x^2-9x+20>0$$
$$D=9^2-4\cdot 20=81-80=1$$
$$x_1=\frac{9-1}{2}=4,\quad x_2=\frac{9+1}{2}=5$$
Тогда
$$ (x-4)(x-5)>0 \Rightarrow x<4 \text{ или } x>5 $$
Учитываем область определения:
$$9x-20\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{20}{9}$$
Пересечение даёт:
$$x\in\left[\frac{20}{9},4\right)\cup(5,+\infty)$$
$$\sqrt{x+61}<x+5$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+61<x^2+10x+25$$
$$x^2+9x-36>0$$
$$D=9^2+4\cdot 36=81+144=225$$
$$x_1=\frac{-9-15}{2}=-12,\quad x_2=\frac{-9+15}{2}=3$$
Тогда
$$ (x+12)(x-3)>0 \Rightarrow x<-12 \text{ или } x>3 $$
Учитываем область определения и условие положительности правой части:
$$x+61\ge 0 \Rightarrow x\ge -61,\qquad x+5>0 \Rightarrow x>-5$$
Пересечение даёт:
$$x\in(3,+\infty)$$
$$2\sqrt{4-x^2}\le x+4$$
Область определения:
$$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2$$
Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной:
$$x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4$$
Это условие уже выполнено на области определения. Возведём обе части в квадрат:
$$4(4-x^2)\le (x+4)^2$$
$$16-4x^2\le x^2+8x+16$$
$$5x^2+8x\ge 0$$
$$x(5x+8)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le -\frac{8}{5}\quad \text{или}\quad x\ge 0$$
С учётом области определения:
$$x\in\left[-2,-\frac{8}{5}\right]\cup[0,2]$$
$$\sqrt{x^2+4x-5}<x-3$$
Область определения и условие на правую часть:
$$x^2+4x-5\ge 0,\qquad x-3>0$$
Из первого неравенства:
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\ge 0 \Rightarrow x\le -5 \text{ или } x\ge 1$$
Но вместе с условием $$x>3$$ остаётся только $$x>3$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+4x-5<(x-3)^2$$
$$x^2+4x-5<x^2-6x+9$$
$$10x<14$$
$$x<\frac{7}{5}$$
Это противоречит условию $$x>3$$, значит решений нет.