Упр.16.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x > v(24-5x); 3) 3-x > 3v(1-x^2);
2) v(2x+7)?x+2; 4) v(7x-x^2-6) < 2x+3.

Подробный ответ

$$x>\sqrt{24-5x}$$
Так как правая часть неотрицательна, то обязательно $$x>0$$ и $$24-5x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2>24-5x$$
$$x^2+5x-24>0$$
$$(x+8)(x-3)>0$$
Отсюда $$x<-8$$ или $$x>3$$.
С учётом области определения $$24-5x\ge 0$$, то есть $$x\le \frac{24}{5}$$, получаем:
$$x\in(3;\tfrac{24}{5}]$$
$$\sqrt{2x+7}\le x+2$$
Для существования корня нужно:
$$2x+7\ge 0$$
Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной:
$$x+2\ge 0$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+7\le (x+2)^2$$
$$2x+7\le x^2+4x+4$$
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$(x+3)(x-1)\ge 0$$
Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 1$$.
С учётом условий $$x\ge -\frac{7}{2}$$ и $$x\ge -2$$ получаем:
$$x\in[1;+\infty)$$
$$3-x>3\sqrt{1-x^2}$$
Область определения:
$$1-x^2\ge 0,\quad -1\le x\le 1$$
Так как правая часть неотрицательна, то должно быть $$3-x>0$$, что на ОДЗ выполняется.
Возведём обе части в квадрат:
$$(3-x)^2>9(1-x^2)$$
$$9-6x+x^2>9-9x^2$$
$$10x^2-6x>0$$
$$2x(5x-3)>0$$
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac{3}{5}$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in[-1;0)\cup\left(\frac{3}{5};1\right]$$
$$\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3$$
Для существования корня:
$$7x-x^2-6\ge 0$$
$$x^2-7x+6\le 0$$
$$(x-1)(x-6)\le 0$$
$$1\le x\le 6$$
Правая часть должна быть положительной:
$$2x+3>0$$
Это условие на найденном промежутке выполняется.
Возведём обе части в квадрат:
$$7x-x^2-6<(2x+3)^2$$
$$7x-x^2-6<4x^2+12x+9$$
$$5x^2+5x+15>0$$
$$x^2+x+3>0$$
Так как $$D=1-12=-11<0$$ и старший коэффициент положителен, то неравенство верно при всех $$x$$.
С учётом ОДЗ:
$$x\in[1;6]$$