Упр.16.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$x>\sqrt{24-5x}$$;
- $$3-x>3\sqrt{1-x^2}$$;
- $$\sqrt{2x+7}\ ?\ x+2$$;
- $$\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3$$.
1) $$x>\sqrt{24-5x}$$
Так как правая часть неотрицательна, то обязательно $$x>0$$. Возведём обе части в квадрат:
$$x^2>24-5x$$
$$x^2+5x-24>0$$
$$D=5^2+4\cdot 24=25+96=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 11}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=3$$
Тогда
$$(x+8)(x-3)>0 \Rightarrow x<-8 \text{ или } x>3$$
С учётом области определения:
$$24-5x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac{24}{5}=4{,}8$$
Получаем:
$$x\in(3;\,4{,}8]$$
2) $$\sqrt{2x+7}\le x+2$$
Необходимо, чтобы
$$2x+7\ge 0,\quad x+2\ge 0$$
то есть
$$x\ge -\frac{7}{2},\quad x\ge -2$$
Следовательно, $$x\ge -2$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+7\le (x+2)^2$$
$$2x+7\le x^2+4x+4$$
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
Тогда
$$(x+3)(x-1)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 1$$
С учётом $$x\ge -2$$ получаем:
$$x\in[1;\,+\infty)$$
3) $$3-x>3\sqrt{1-x^2}$$
Так как правая часть неотрицательна, то должно быть $$3-x>0$$, то есть $$x<3$$. Область определения корня:
$$1-x^2\ge 0 \Rightarrow -1\le x\le 1$$
На этой области можно возвести обе части в квадрат:
$$(3-x)^2>9(1-x^2)$$
$$9-6x+x^2>9-9x^2$$
$$10x^2-6x>0$$
$$2x(5x-3)>0$$
$$x<0 \text{ или } x>\frac{3}{5}$$
Пересекаем с $$[-1;1]$$:
$$x\in[-1;\,0)\cup\left(\frac{3}{5};\,1\right]$$
4) $$\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3$$
Необходимо, чтобы
$$2x+3>0 \Rightarrow x>-\frac{3}{2}$$
и
$$7x-x^2-6\ge 0$$
Возведём обе части в квадрат:
$$7x-x^2-6<(2x+3)^2$$
$$7x-x^2-6<4x^2+12x+9$$
$$5x^2+5x+15>0$$
$$x^2+x+3>0$$
У этого квадратного трёхчлена дискриминант отрицателен:
$$D=1-12=-11<0$$
Значит, $$x^2+x+3>0$$ при всех $$x$$.
Теперь найдём область определения корня:
$$7x-x^2-6\ge 0$$
$$x^2-7x+6\le 0$$
$$(x-1)(x-6)\le 0$$
$$x\in[1;\,6]$$
Это множество удовлетворяет и условию $$x>-\frac{3}{2}$$.
Следовательно,
$$x\in[1;\,6]$$
Ответ
1) $$x\in(3;\,4{,}8]$$; 2) $$x\in[1;\,+\infty)$$; 3) $$x\in[-1;\,0)\cup\left(\frac{3}{5};\,1\right]$$; 4) $$x\in[1;\,6]$$.
