Упр.16.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 16.16. При каких значениях параметра a множеством решений неравенства v(1-x^2)?4/3(x-a) является промежуток длиной 9/5?

Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{1-x^2}\ge \frac{4}{3}(x-a).$$

График функции $$y=\sqrt{1-x^2}$$ — верхняя полуокружность радиуса $$1$$ с центром в начале координат. Чтобы множество решений было промежутком длиной $$\frac{9}{5}$$, прямая $$y=\frac{4}{3}(x-a)$$ должна пересекать эту полуокружность в точке с абсциссой $$x=\frac{4}{5}$$.

Найдём ординату этой точки:

$$y=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Подставим координаты точки пересечения в уравнение прямой:

$$\frac{3}{5}=\frac{4}{3}\left(\frac{4}{5}-a\right).$$

Тогда

$$\frac{4}{5}-a=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{20},$$

$$a=\frac{4}{5}-\frac{9}{20}=\frac{16}{20}-\frac{9}{20}=\frac{7}{20}.$$

Ответ

$$\frac{7}{20}$$